VASTITA’ E INFINITO NELLA SCIENZA

Lunedì, 21 agosto 2006, ore 11.15

Relatori:
Steven Beckwith, Space Telescope Science Institute, Baltimora; Edward Nelson, Docente di Matematica al Department of Mathematics, Princeton University 

Moderatore:
Marco Bersanelli, docente di Astrofisica all’Università degli Studi di Milano

Moderatore: Buongiorno a tutti, benvenuti a quest’incontro. Il titolo del Meeting di quest’anno mette al centro dell’attenzione il rapporto tra la ragione umana e l’infinito. E’ quindi un titolo che interroga in profondità, direi stuzzica in modo irresistibile chi si occupa di ricerca scientifica. E in effetti l’idea di infinito, il concetto di infinito ha attraversato un po’ tutta la storia della scienza fin dai sui albori. Da Pitagora a Cantor ai primi filosofi scienziati medioevali, fino a Einstein, fino agli scienziati moderni. Matematici, astronomi e fisici si sono imbattuti da un parte nella vastità dell’universo, e dall’altra in una forma o l’altra di quell’infinito che nella matematica emerge, anche con tutti i paradossi e le difficoltà ma certamente con tutto il fascino che l’idea di infinito porta con se. Quindi, il Meeting di quest’anno, naturalmente come anche nelle edizioni precedenti, ha diversi spunti, diverse proposte di approfondimento del tema centrale sotto l’angolatura particolare della scienza. E quello di oggi è soltanto il primo di una serie di eventi. 
Quest’anno per la verità è anche successo qualcosa di nuovo, di cui volevo dare notizia perché il titolo del Meeting di quest’anno ha attirato l’attenzione di un gruppo di una ventina di studiosi delle più prestigiose università di tutto il mondo che si sono dati convegno, hanno portato a termine un convegno a San Marino nei giorni scorsi, a livello specialistico, interdisciplinare, proprio sul tema dell’infinito. Il convegno è stato organizzato dalla fondazione John Templeton, con la quale abbiamo da anni un rapporto molto cordiale e fruttuoso, dal CTNS di Berckeley in California, dall’associazione Euresis, in collaborazione con l’università di San Marino. Questo seminario scientifico è il primo di una serie che ogni anno speriamo di poter proporre sul tema del Meeting. 
Ma torniamo adesso al nostro tema. La parola infinito evoca immediatamente l’idea di una vastità, e la vastità del cosmo è forse il segno più potente, più invitante che la natura ci offre dell’infinito. Lo testimonia l’attenzione con cui tutte le generazioni umane hanno guardato al cielo in modi diversi, scoprendo in esso un segno di un mistero grande. E poi, negli anni più recenti, attraverso la scienza, avendo la possibilità di scoprire qualcosa dell’ordine nascosto che muove tutta la realtà nelle sue più vaste dimensioni. E ogni volta che le osservazioni ci consentono di sollevare un lembo nuovo di realtà, è come la scoperta di una nuova bellezza, di un nuovo mistero. 
Credo che oggi avremo una grande testimonianza di questo. Ma oltre alla vastità del cosmo, certamente l’altro fronte o un altro fronte su cui la ragione scientifica si trova direttamente a ridosso dell’idea di infinito è la matematica. I bambini, appena imparano a contare, in qualche modo si imbattono nell’idea di infinità del numero, concetto elementare. I matematici hanno scoperto che sotto certe ipotesi esistono gerarchie diverse di infinito, livelli diversi di infinito, e che anche la manipolazione di numeri finiti richiede una certa idea di infinito. Ma non tutti i matematici sono d’accordo nell’interpretare l’infinito per quello che è in matematica, come abbiamo avuto diversi riscontri nelle discussioni a San Marino. E ci sono quindi dei problemi aperti ancora, affascinanti, su questo tema. 
Prima di introdurre i nostri ospiti volevo fare un’ultima osservazione. Credo che l’esperienza di ciascuno di noi mostri che la vastità dell’universo e l’infinito della matematica non sono quell’Infinito a cui il cuore dell’uomo tende. Nessuna quantità di spazio, nessun numero, per quanto infinito, può appagare veramente il desiderio dell’uomo. Piuttosto, questa vastità e questo infinito matematico sono come dei segni di quella realtà di cui tutte le cose sono costituite. Segni sublimi, meravigliosi. Proprio per questo, noi vogliamo lasciarci condurre nella realtà così com’è, per poter apprezzare con maggior chiarezza il punto di fuga che dalla conoscenza della realtà possiamo apprendere, quel punto di fuga verso quell’Infinito di cui il 
nostro cuore è attesa. 
Ringrazio quindi Steven Beckwith e Edward Nelson, che sono i nostri due ospiti di stasera. Un grande astrofisico e un grande matematico che operano da anni alla frontiera dei rispettivi campi di ricerca. Lasciatemi dire solo due parole per ciascuno, sulla loro straordinaria presenza nel mondo scientifico mondiale. Steven Beckwith, alla mia destra, è direttore dello Space Telescope Science Institute, dell’istituto che governa le operazioni scientifiche del telescopio spaziale Hubble, ed è professore di fisica e astronomia alla John Hopkins University a Baltimora. Ha insegnato per tredici anni al dipartimento di astronomia del Cornell University ed è stato anche direttore dell’istituto Max Plank per l’astronomia, quindi in Europa ad Hiderberg, in Germania. I suoi interessi scientifici riguardano principalmente la formazione e l’evoluzione dei pianeti, delle stelle, delle stelle giovani, della nascita della galassie nell’universo primordiale. Vorrei aggiungere che Steven Beckwith ha avuto un ruolo di primo piano nell’intero sviluppo della impresa del telescopio spaziale Hubble, e recentemente anche nella preparazione del telescopio spaziale di seconda generazione, il James Web Space Telescope. In particolare, quando la NASA qualche anno fa ha annunciato la decisione di sospendere definitivamente le operazioni del telescopio Hubble, Steven ha avuto un ruolo fondamentale nel sovvertire - diciamo - questa decisione e, compatibilmente con lo sviluppo del programma Shuttle, di fatto la NASA ha deciso di continuare le operazioni del telescopio spaziale. Veramente dobbiamo a lui se questa grande opportunità di osservazione è ancora disponibile.
Introduco anche il secondo speaker, che parlerà subito dopo Steven, Edward Nelson. Ed insegna matematica alla prestigiosa università di Princeton, dove è stato professore per oltre quarant’anni, ed è famoso per i suoi lavori in fisica, matematica e logica matematica, in particolare per la cosiddetta “Internal Set Theory”. Ha lavorato anche all’università di Chicago ed è stato membro dell’ “Institute for Advanced Study”. Edward Nelson ha contribuito in modo fondamentale alla teoria della rappresentazione di gruppi di dimensione infinita, alla trattazione matematica della teoria quantistica dei campi, con un risvolto fisico importante, e allo studio dei processi statistici in meccanica quantistica. E inoltre ha lavorato per molti anni su aspetti di teoria della probabilità. Recentemente si è dedicato soprattutto alla logica matematica e ai fondamenti della matematica. 
La parola a Steven Beckwith.
Beckwitt commenta le slides 

Steven Beckwith: Buongiorno, desidero ringraziare gli organizzatori per avermi invitato in questo bellissimo luogo a questo interessantissimo incontro. La mia intenzione è parlare di quanto abbiamo appreso in questo campo negli ultimi duecento anni sull’infinità del cosmo. Nessuno effettivamente può dire quando i nostri antichi antenati levarono per la prima volta gli occhi al cielo, ma sicuramente si trattava di molto tempo fa. Troviamo artefatti di antiche culture che evidenziano una grande curiosità nei confronti del cielo, che avevano una natura a volte pratica, a volte religiosa, ma sicuramente evidenziavano il desiderio di comprendere il profondo nesso tra le insondabili profondità dei cieli e la vita di tutti i giorni. 
Slide: Stonehenge
Qui abbiamo un esempio di un’antica struttura che venne eretta, che evidenzia l’interesse nei confronti del cosmo e il fatto che per loro il concetto di cielo e infinito erano un'unica cosa. La parola cielo ha connotazioni sia religiose che fisiche. Naturalmente non ho intenzione di occuparmi dell’aspetto religioso di questo concetto ma mi occuperò dell’approccio scientifico. Il significato fisico è stato modificato nel corso dei secoli attraverso le nostre osservazioni, quindi io posso parlare per esteso del nostro ruolo nell’ambito fisico dei cieli, e degli sviluppi che sono avvenuti negli ultimi quattrocento anni, in particolare negli ultimi decenni. 
Slide: Galileo Galilei e i suoi telescopi
In Italia avvenne la prima e più importante scoperta rivoluzionaria, che venne fatta da Galileo Galilei. Egli sapeva dell’esistenza di un dispositivo che metteva a fuoco gli oggetti lontani, un telescopio che era stato progettato da un fabbricante di lenti olandese, Hans Lippershey nel 1608. Nel giro di alcune settimane, Galileo riuscì a creare un proprio telescopio, riuscendo ad amplificare di 60 volte alcuni oggetti. Grazie a questa scoperta egli modificò per sempre il nostro concetto e la nostra comprensione dei cieli e dell’universo. 
Slide: un documento di Galileo su Giove
Qui vediamo due pagine pubblicate molti anni fa. Si tratta di un documento che parla delle importanti scoperte di Galileo, riguarda Giove. Nella parte inferiore della prima pagina possiamo vedere alcuni disegni fatti da Galileo. Riguardano Giove con i suoi quattro pianeti. Egli scoprì che Giove era al centro di una attività di rivoluzione. Nello stesso rapporto tra la terra, il sole, la luna e le stelle. Ed egli in questo modo modificò completamente la teoria geocentrica di Tolomeo sul movimento dell’universo. Una immagine odierna di Giove ci indica cosa effettivamente possiamo vedere con i telescopi moderni. Questa è una immagine che vediamo con il telescopio Hubble. Ecco una delle lune di Giove in una specifica fase del pianeta, quindi possiamo vedere che Giove è al centro della rivoluzione di questo sistema. 
Slide: osservazioni di Galileo su Venere
In questa immagine vediamo le grandi scoperte fatte nei primi due anni di osservazioni di Galileo, che modificarono completamente la nostra comprensione del pianeta. Qui vediamo il pianeta Venere che ha delle fasi, e quindi è illuminato in maniera variabile. Copernico, grazie alla sua teoria sul sistema solare, riuscì a prevedere una serie di specifiche sequenze del pianeta Venere, che vediamo a destra, molto diverse da quelle previste da Tolomeo a sinistra. E Galileo riuscì a confermare la teoria copernicana nel giro di due anni, utilizzando il suo telescopio e modificando per sempre la nostra comprensione dell’universo.
Slide: la Luna contro la Via Lattea
Due tra le più importanti scoperte furono quelle relative alla luna e alla Via Lattea. Il telescopio era sufficientemente potente per evidenziare le creste montane della luna. In questo modo Galileo si rese conto che luna e terra erano molto simili: un pianeta come la luna era molto simile alla terra. La Via Lattea: quando egli la osservò per la prima volta, riuscì ad individuare una serie di stelle. La Via Lattea è una grande nebulosa vista dalla terra, ma anche con un telescopio a bassa risoluzione possiamo ora vedere che essa è costituita da miliardi di stelle, come vide Galileo la prima volta, e per altro molto simili al sole.
Queste osservazioni furono molto importanti perché ci portarono al concetto di infinito. L’infinito praticamente era una cosa assolutamente aliena dalla terra, lontana. La luna, i pianeti, le stelle, la Via Lattea, erano l’infinito per l’uomo. Grazie alle scoperte di Galileo, furono rimossi alcuni elementi misteriosi relativi all’infinito. Ci consentirono di capire le cose in termini fisici più familiari. Poi, il fatto che la terra non si trovasse più al centro dell’universo evidenziava il fatto che l’infinito e il cosmo non erano stati concepiti a nostro esclusivo beneficio. 
Slide: quattro secoli di scoperte
Ora, vorrei riassumere centinaia di anni di progressi astronomici in alcune diapositive, per poter passare poi all’idea moderna di cosmo. In questa immagine vediamo un grafico: sull’asse orizzontale delle ascisse vediamo il tempo relativo all’osservazione astronomica, dal Medioevo ad oggi, mentre nell’asse verticale vediamo il miglioramento in termini di potenza del telescopio. Galileo col primo telescopio naturalmente aumentò la nostra capacità di osservare i cieli di circa cento volte, quindi fu il più grande passo in avanti compiuto in termini di miglioramento dei telescopi. Non è presente comunque il telescopio di Hubble. Abbiamo migliorato nel corso del tempo la nostra potenza di osservazione, migliorando le caratteristiche tecnologiche delle lenti, degli specchi, poi con la fotografia, e quindi abbiamo naturalmente migliorato la nostra sensibilità di osservazione di un milione di volte. Nel contempo, abbiamo scoperto nebulose, cluster di stelle, galassie, buchi neri e materia interstellare. 
In questa diapositiva, vediamo alcuni dei momenti storici a partire dall’osservazione fatta da Galileo che fece un balzo in avanti in termini di cento volte di migliore sensibilità, e poi naturalmente parleremo del telescopio di Hubble. Da qui derivano due importanti concetti. Il primo: l’aumento della capacità di osservazione ha fatto sì che possiamo comprendere aspetti più dettagliati dell’universo. L’astronomia è una scienza osservazionale che dipende dalla capacità dei telescopi. Aumentando la potenza dei telescopi, abbiamo potuto osservare oggetti sempre più lontani. Questo significa che il nostro concetto di infinito è stato spostato sempre più in là, sempre più lontano, e ci ha consentito di studiare le regioni più lontane dell’universo che possono ora essere commensurabili in termini fisici. Quindi, la storia dell’astronomia è la storia di uno spostamento dell’orizzonte dell’infinito, rendendo visibili distanze che prima non potevamo vedere.
Slide: Globular cluster
Vi furono due importanti momenti dalle prime scoperte di Galileo. Innanzitutto l’osservazione della dimensione della Via Lattea. Nel XVIII, XIX secolo, gli osservatori astronomici notarono cluster di stelle simili alla Via Lattea, però con una struttura diversa, sferica. Sappiamo che un cluster di stelle contiene circa da centomila a un milione di stelle, e si trova nell’alone della Via Lattea. 
Slide: GEMS galaxy fields
Queste nebulose avevano un aspetto di bande continue di luce con una forma a spirale. La galassia di Andromeda o M31 e le nubi di Magellano sono un interessante esempio in questo senso. All’inizio del XIX secolo vi fu un acceso dibattito sulla natura di queste formazioni; ci si interrogava se fossero un prolungamento della Via Lattea o qualcosa di completamente diverso. In quegli anni si pensava che la Via Lattea rappresentasse tutto l’universo e il resto fosse solo il vuoto infinito. 
Slide: Hubble & le due grandi scoperte
Edwin Hubble effettuò due interessantissimi studi negli anni Venti, tentando di risolvere questi misteri. Utilizzò il telescopio del monte Wilson in California e riuscì a studiare molte stelle nella galassia di Andromeda, che egli chiamò Cefeieidi. Si trattava di stelle ad una distanza di più di un milione di anni luce. Un anno luce è la distanza che la luce compie in un anno. Diciamo che la stella più vicina alla terra si trova a una distanza di tre anni luce. Rispetto alla galassia di Andromeda, la nostra distanza è di circa un milione di anni luce. Andromeda è quasi grande come tutta la Via Lattea. Le nebulose sembrano molto piccole nel cielo e sono molto, molto lontane. Quindi ci si rese conto che l’infinito è estremamente ampio. 
Animazione: grafico di Hubble
Una seconda importante scoperta fatta da Hubble fu la seguente. Le galassie si allontanano da noi a grande velocità e si allontanano tra di loro a grande velocità, ad una velocità che è direttamente proporzionale alla loro distanza. Qui vediamo il grafico di Hubble. L’asse verticale rappresenta la velocità in km/s - è un po’ difficile da leggere, probabilmente - però il primo segno è 10000 Km/s, quindi una grande velocità. In ascissa vediamo la distanza misurata in milioni di parsec, oppure anni luce, per dirla in modo più semplice. 
Qui abbiamo visto che l’universo sembra aver avuto origine in una singola esplosione che avvenne moltissimo tempo fa, per cui tutte le galassie che vediamo oggi, che si allontanano a grande velocità l’una dall’altra, sono il risultato di una grande esplosione, il Big Bang come lo conosciamo. Se pensiamo ad una esplosione tutto originata in un punto, in un certo momento, dopo un po’ questi oggetti raddoppiano la velocità, raddoppiano la distanza. Questo è quanto avviene attualmente nell’universo. Possiamo addirittura fare delle estrapolazioni sulla velocità per capire l’età dell’universo, che è poco meno di 14 miliardi di anni. Quindi diciamo che l’universo non ha un passato infinito, ha un futuro infinito. 
Nelle prossime diapositive vedremo quali sono gli approcci che noi utilizziamo oggi nei confronti dell’universo osservabile. Qui possiamo vedere che dai tempi antichi, in cui potevamo solo concepire la distanza fino alla luna, ora siamo arrivati a orizzonti molto più lontani, in cui vediamo il sistema solare, vediamo la distanza tra la terra e il sole. Qui abbiamo l’asse in basso che indica alcuni miliardi di km e la distanza tra i diversi oggetti stellari, circa 10 miliardi di km dal primo all’ultimo. Naturalmente queste sono distanze piccolissime per gli astronomi. Adesso, coloro che studiano le distanze tra i pianeti sono chiamati scienziati planetari, come se fossero una parte separata dell’astronomia.
Slide 12: la nube di Oort
Qui abbiamo la nube di Oort, che comprende la maggior parte delle comete che entrano nel sistema solare. Fu scoperta da un astronomo olandese, Jan Oort, e vediamo che la nube di
Oort si estende da un anno luce a partire dal sole a circa un terzo della distanza fino alla prossima stella più vicina. 
Slide: la nebulosa di Orione
Questa diapositiva evidenzia la nebulosa di Orione, che a volte si può vedere ad occhio nudo nell’emisfero boreale: la si vede durante l’inverno. Questa nebulosa ha una ampiezza di un decimo di anno luce e si trova ad una distanza di circa 1500 anni luce da noi. Rimane all’interno della Via Lattea, però indubbiamente ha rappresentato un oggetto remotissimo per i primi osservatori. 
Slide: NGC 3132
Allontaniamoci, andiamo a circa 2000 anni luce. Questa è la nebulosa di pianeti nota con il nome di NGC 3132. Si tratta di una nebulosa gassosa la cui larghezza è di circa un anno e mezzo luce. Fa parte della Via Lattea e la si può ben studiare con i nuovi telescopi. I primi osservatori vedevano che si trattava di grandi oggetti di forma sferica, però non potevano distinguerli molto bene dai pianeti, per questo li chiamarono nebulose planetarie. Sono il risultato di stelle morenti, non hanno nulla a che vedere con i pianeti, e quindi sono le stelle morenti che danno origine a queste nebulose. 
Slide: cluster NGC 265 nella piccola Nube di Magellano
Qui vediamo un cluster di stelle. Lo si vede bene, non si trova nella Via Lattea ma nella piccola Nube di Magellano. Larghezza 65 anni luce, distanza 200.000 anni luce. E’ interessante osservare queste immagini perché ci indicano che le galassie sono molto simili tra di loro. Dicevo poco fa che furono studiate le galassie a spirale, che possono essere studiate con grande dovizia di dettagli. 
Slide: galassia a spirale NGc 3949
Questa è una galassia a spirale che si trova a 50 milioni di anni luce di distanza dalla Via Lattea. E’ un esempio di un ambiente familiare, noto, però ad una grandissima distanza. La luce che emana da questa galassia fu originata molti milioni di anni fa. Una luce che viaggia ancora. Studiamo galassie come queste in continuazione, sono oggetti molto familiari ormai a tutti gli astronomi, e possono essere utilizzati per capire meglio come cambia l’universo nel corso del tempo. Stiamo arrivando a distanze ancora più interessanti. 
Slide: cluster di galassie Abell 2218
Questo è un cluster di galassie che si trova ad una distanza di circa 13 miliardi di anni luce dal sistema solare. Grazie al telescopio di Hubble, possiamo evidenziare tutte queste galassie che sono costituite principalmente da oggetti ellittici e a spirale. Vedete, tutte le galassie in questa immagine sono regolari in termini di forma, non c’è alcun caos, sono nate moltissimi anni fa e con il passare del tempo hanno consolidato la loro forma, ellittica o a spirale. La risoluzione di questa immagine è così buona che è possibile vedere distanze che sono molto, molto lontane, grazie alle “lenti gravitazionali” rese possibili grazie agli studi di Einstein e al rapporto tra luce e gravità. Queste galassie esistono da tempi antichissimi, fanno parte della storia dell’universo, e ve ne sono moltissime nel cosmo.
Slide: simulazione di millennio su una struttura a larga scala
Infine, in questa breve panoramica, possiamo vedere una immagine di galassie che potremmo studiare ad una distanza di 30 miliardi di anni luce, che è attualmente la distanza oltre la quale non possiamo andare. Questo è un modello computerizzato, ogni puntino rappresenta una nuova galassia. Naturalmente non scendo nei dettagli di queste ricostruzioni matematiche. Dico semplicemente che abbiamo cominciato a confrontare queste immagini con le nostre teorie, e naturalmente questo ci consente di comprendere bene la storia dell’universo. 
Slide: HUDF
Infine, naturalmente non posso fare a meno di farvi vedere Hubble Ultra Deep Field. E’ diciamo la parte più lontana dell’universo che abbiamo potuto vedere grazie al potentissimo telescopio Hubble. Ci sono più di 10.000 galassie in questa immagine e la risoluzione è molto buona, però cerchiamo di vedere alcuni degli aspetti più belli, grazie a un trucco, naturalmente. Quando abbiamo rilevato questa immagine tre anni fa, l’abbiamo fatto in modo quasi biblico, devo dire. Credo che questo sia in linea con lo spirito che vi anima. Abbiamo iniziato i nostri studi nel settembre del 2003 e per una quarantina di giorni e notti naturalmente abbiamo osservato il cielo e poi ci siamo riposati. E ci siamo riposati fino all’inizio di dicembre. Poi abbiamo preso il telescopio e abbiamo osservato il cielo per altri quaranta giorni e altre quaranta notti e poi ci siamo fermati il 16 gennaio 2004, tra l’altro è il compleanno di mia moglie e le ho promesso che mi sarei preso un giorno libero. Ma in quel giorno l’amministratore della NASA ci ha riuniti annunciando che avrebbe sospeso il programma Hubble per sempre. E quindi ho violato la promessa fatta a mia moglie, sono andato alla NASA e naturalmente ho dovuto fare a quel punto una serie di scelte politiche. Ma comunque torniamo ora all’astronomia e alla scienza.
Questa è una cosa che si può fare anche a casa, naturalmente devo darvi i giusti indirizzi. Ecco, questo è lo skywalker, prendiamo questo cerchio, lo trasciniamo e possiamo vedere le diverse galassie nel campo di Hubble HUDf e vediamo quanto bello è l’universo ai suoi primordi. La luce che emana da queste galassie, in particolare quelle rossastre che si vedono di tanto in tanto, ci fa capire che queste galassie nacquero circa 13 miliardi di anni fa, quando l’universo aveva una dimensione molto più limitata rispetto a oggi. Se osserviamo queste immagini, vediamo che queste galassie sono molto diverse rispetto a quelle di oggi. Queste al centro sono galassie dell’universo primordiale, però non hanno quella forma ellittica, spirale, liscia delle galassie odierne, perché stiamo guardando a tempi antichi in cui l’universo non aveva ancora forgiato le prime galassie. Noi stiamo veramente guardando i primordi, ed è un’evidenza che indica che l’universo è cambiato moltissimo negli ultimi 13 miliardi di anni. Che vi piaccia la teoria del Big Bang o meno, non possiamo negare che le galassie del primo universo fossero completamente diverse dalle galassie di oggi.
Vedete in questi riquadri due cose. Innanzitutto, l’età dell’universo di oggi è proprio 13,7 miliardi di anni. Qui abbiamo cinque immagini di galassie con l’età dell’universo, quando queste galassie iniziarono ad emettere luce. A 9 miliardi di anni la prima galassia iniziò ad emettere luce. Poi, risalendo nel tempo vediamo una serie di galassie. 3 miliardi di anni, 2 miliardi di anni, meno di un miliardo di anni dopo il Big Bang. Le galassie diventano sempre più caotiche, diminuisce le loro dimensione e assumono un colore rossastro. Questo avviene praticamente a tutte le galassie che esistevano nel brodo primordiale tra il Big Bang e i tempi di oggi. Ecco, questa è la nostra idea di infinito, ed è molto diversa da quella che si aveva nel passato. Ora la si può quantificare in termini fisici. Naturalmente questa non deve essere una sorpresa per noi. 
Slide: evoluzione del diagramma dell’universo
Vediamo in questo grafico in forma schematica quello che dovrebbe essere avvenuto dopo il Big Bang. Nei primi centinaia di migliaia di anni l’universo era costituito da particelle elementari, dopo di che gli elettroni, i protoni si unirono e cominciarono a emettere luce, a formare atomi di idrogeno. Poi, per molti anni, ci fu la cosiddetta epoca buia, infine iniziarono a formarsi le galassie. Hubble ci consente di vedere i tempi della nascita delle prime galassie, alcuni milioni di anni dopo il Big Bang. Con i telescopi moderni possiamo risalire ai tempi della radiazione delle microonde del contesto cosmico, e questo ci consente di capire quello che avveniva in tempi antichissimi. Qui vediamo le fluttuazioni di temperatura nel campo delle microonde. Presto verrà lanciato un satellite che consentirà di studiare l’universo in modo rivoluzionario. 
Slide: COBE variazioni di temperatura
Qui vediamo le variazioni di temperatura del background di microonde. Con una temperatura di 2,725 gradi Kelvin, con le variazioni nei diversi campi. 
Slide: COBE temperatura, nord e sud
Lo spazio è uniforme, come vediamo da questa immagine. E’ una cosa incredibile. Se guardiamo una parte del cielo, ecco queste sono l’emisfero nord e l’emisfero sud, vediamo che a scopo pratico le temperature di questi due ambiti del cosmo sono più o meno le stesse. Slide: Diagramma
Come è possibile questo? Se pensiamo che l’universo si espande in continuazione, ci sono delle zone talmente remote che non dovrebbero essere simili, ma studiando appunto queste differenze di temperatura scopriamo che non sono sostanziali, sono due regioni lontanissime e ed è impossibile che la luce sia passata tra loro due. Però esse sono molto simili, come vediamo in questo grafico, l’universo osservabile è questo, di circa 14-15 miliardi di anni come età, però se studiamo la luce emessa in questo periodo di tempo in diverse parti del cosmo vediamo che le differenze sono minime. Sono zone che comunque non sono mai entrate in contatto tra loro quindi, come è possibile che le loro temperature siano state regolate in modo da essere più o meno simili? 
Slide: inflazione e Big Bang
Questo è la cosiddetta teoria del problema dell’orizzonte, la matematica moderna cerca di studiare questo problema. Naturalmente è un problema che potrà essere risolto e si suppone che l’universo stia andando incontro a un processo di inflazione dopo il big bang. E’ una teoria piuttosto esotica che ci consente di fare alcune supposizioni sulla teoria della radiazione cosmica di back round, lo studio delle temperature continuerà nei prossimi anni grazie al satellite che verrà lanciato e che ci consentirà di ottenere molte informazioni sull’argomento. 
Slide: espansione dell’universo
E’ interessante anche studiare la velocità di espansione dell’universo, ci siamo accorti che siamo passati in una seconda fase di espansione dell’universo. Naturalmente si è presa in considerazione la possibilità che tutto rallentasse dopo il big bang - a sinistra -, o che tutto accelerasse - come vediamo a destra -. Negli ultimi anni abbiamo potuto confermare che questa è la possibilità che rimane mentre le altre sono state smentite, quindi praticamente ci troviamo in un periodo in cui non solo l’universo continua a espandersi ma lo fa ad una velocità crescente. E quindi abbiamo già spostato il confine dell’infinito per il passato ma questo confine dell’infinito per il futuro continua ad avanzare. 
Slide: descrizione della tecnologia moderna
Qui vediamo una descrizione della cosmologia moderna. Naturalmente sappiamo che l’universo è nato da un punto infinitamente piccolo in un certo momento del tempo, 13 miliardi di anni fa: il big bang, poi questo processo ha portato alla formazione di una serie di corpi celesti. Non possiamo vedere oltre il cosiddetto orizzonte degli eventi di circa 14 miliardi di anni fa e questo definisce l’entità del nostro universo che non è più infinito, non sappiamo se lo spazio all’al di là è infinito, ma sappiamo sicuramente che lo spazio è più ampio del nostro orizzonte degli eventi. Una delle cose più bizzarre è che la materia che ci costituisce - elettroni, protoni, neutroni, elio, ecc. -, costituisce solo il 5% dell’universo, il rimanente 95% è costituito da materia oscura, energia oscura la cui presenza possiamo dimostrare ma la cui composizione non conosciamo. Però credo che nel futuro potremo farlo facendo una seria di esperimenti e credo che questo sia uno degli aspetti più interessanti del nostro lavoro. 
Questo grafico lo abbiamo già visto, esso evidenzia i miglioramenti fatti nella potenza dei telescopi a partire da Galileo. Fu il telescopio di Galileo Galilei che ci fece fare il primo balzo in avanti. E questa è la potenza del telescopio di Hubble: grazie a lui abbiamo potuto aumentare la nostra capacità di osservazione di un balzo che è della stessa entità del telescopio di Galileo. Non è un caso che siano state fatte delle scoperte così interessanti grazie ad Hubble, che è un telescopio potentissimo perché ci ha permesso di risalire al tempo in cui le galassie erano molto giovani. Questo è quello che sarà il telescopio che lanceremo nel 2013, che sicuramente migliorerà moltissimo la nostra capacità di osservazione, ci consentirà di studiare le prime stelle, le prime galassie in modo che esse potranno essere più familiari a tutti noi. Un’immagine quasi iconica, direi, perché ci fa comprendere quali sono stati i grandissimi passi fatti nella conoscenza del cosmo grazie alle tecnologie moderne: non solo abbiamo potuto dimostrare che la luna, che un tempo era al confine infinito, ora è un luogo di tutti i giorni. 
Vogliamo continuare in questa direzione, nel corso degli ultimi 400 anni abbiamo spostato il mistero, il confine dell’infinito, spostando i confini in modo che l’universo è una cosa sempre più comprensibile. Sappiamo che ha un’età di 14 miliardi di anni, possiamo osservare la luce fino all’orizzonte degli eventi e da questo possiamo dedurre una seria di teorie che ci consentono di comprendere l’universo eliminando in molti versi la misteriosità dell’infinito. La nostra conoscenza ci ha consentito di eliminare molti elementi misteriosi sull’infinito però non sappiamo che cosa ci riserva il futuro, sappiamo che ci sono ancora molti misteri in sospeso… Certo, forse il passato è sconosciuto, però il futuro è conoscibile, comunque è un infinito sul quale dobbiamo continuare a riflettere. Grazie della vostra attenzione.

Moderatore: Grazie, Steven, per questo affascinante viaggio nella vastità dell’universo. Adesso abbiamo Edward Nelson che ci introdurrà alla magia dell’infinito matematico… in italiano, attenzione!

Edward Nelson: Ringrazio il professore Bersanelli per l’invito, per me è un grande onore e un grandissimo piacere. Conosco Marco da tre giorni e so già di aver incontrato un’anima eccezionale. Voglio anche ringraziare vivamente i colleghi che, qui al Meeting, hanno risolto il problema della presentazione con il computer. 
“Dio condusse fuori Abramo e gli disse: “Guarda il cielo e conta le stelle se le puoi contare”. E soggiunse: “Tale sarà la tua discendenza””, Genesi, 15.5. 
Si usano i numeri per contare. Cos’è un numero? Una prima risposta è che i numeri sono 0, 1, 2, 3, …, un nostro amico, …e così via all’infinito. Ecco l’esempio di un numero, avrei potuto dare un altro esempio, infatti c’è un’infinità di numeri, ma questo numero è molto interessante, ne parlerò più tardi. 
Ecco il più antico problema aperto della matematica: un numero è detto perfetto quando è la somma dei suoi divisori. Per esempio, i divisori di 6 sono 1, 2 e 3, e infatti 6 è la somma di 1+2+3. Anche 28 è perfetto: i divisori sono 1, 2, 4, 7, 14 e la somma è 28. Questo concetto risale a Pitagora (c. 582 – c. 507 AC). Pitagora è una figura straordinaria, ha creato la matematica come scienza deduttiva cioè ha creato la matematica come i matematici intendono la matematica. Nella Magna Grecia, cioè qui in Italia, ha fondato una società, società pitagoriana, a volte si dice una fratellanza pitagoriana ma questo è un errore, perché le donne e gli uomini facevano parte ugualmente di questa società scientifica e religiosa, era un fatto raro per la sua epoca e purtroppo dopo altri 2500 anni di oppressione delle donne è troppo rara anche oggi. Gli antichi conoscevano quattro numeri perfetti, abbiamo visto 6 e 28, ce ne sono altri due: detto così sembra un fatto banale, senza interesse. Ma c’è una struttura molto bella nascosta dentro. La bellezza nella matematica è una bellezza concettuale, non si vede la bellezza matematica con l’occhio ma si vede la bellezza con la ragione, parlo della ragione che è esigenza di infinito. E’ un po’ più difficile vedere con la ragione e ho sentito dire che c’è della gente che non ama la matematica, questo è un po’ difficile per me da capire ma vi prego… non per tutto il discorso, ma per tre minuti prego di porgere attenzione a una matematica un po’ tecnica. Non vi spaventate, quando finisco non ci sarà un esame.
Un numero è detto numero primo se non ci sono divisori. Per esempio, 1, 3, 5, 7, 11, 13 sono numeri primi. Euclide (c. 325 – 265 AC) stesso dimostrò che esiste un’infinità di numeri primi. Le potenze di due sono 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Ogni potenza di due si ottiene dal precedente raddoppiandolo: 8 è il doppio di 4. Per certe potenze di due si vede che il numero –1 è un numero primo: per esempio 4 –1 =3 è un numero primo; 8-1 =7 è un numero primo, anche 32-1 e 128-1. Un numero primo di questa forma è detto oggi numero primo di Mersenne. Mersenne era monaco, matematico, teologo, musicologo (1588-1684). Euclide dimostrò che se 2 alla n, cioè 2 moltiplicato n volte - 1 è un numero primo di Mersenne, allora questo numero moltiplicato per 2 alla n - 1 è un numero perfetto. Faccio un riassunto: ci sono tre concetti diversi, numero perfetto, potenza di due e numero primo. Euclide ha dimostrato un legame tra questi tre concetti, un legame sorprendente. E’ importante notare che Euclide dimostrò il suo teorema non solo per i quattro numeri primi di Mersenne conosciuti a quell’epoca, ma per ogni numero primo di Mersenne. Oggi ne conosciamo 43, e dunque conosciamo 43 numeri perfetti, compreso il nostro amico, quello che abbiamo visto. Qui si vede bene: 2 alla potenza di 2280, moltiplicato per 2 alla potenza di 2279. Questa è la struttura che Euclide ha dimostrato. Il più grande numero perfetto che conosciamo nell’agosto del 2006, è questo: 	2 alla potenza di 30402456, moltiplicato per 2 alla potenza di 30402457 – 1: un numero molto grande. 
Esiste un’infinità di numeri perfetti? Non sappiamo. La questione non ha nessun significato pratico, che io sappia, ma qui ci troviamo di fronte all’infinito! I matematici dedicano la vita alla ricerca di tali problemi. Personalmente, io non mi troverò imbarazzato da questo quando il Signore mi chiederà: “Che hai fatto della vita che ti ho dato?”. Più di 2000 anni dopo Euclide, Eulero, il più grande matematico del ‘700 (1707-1783) dimostrò che ogni numero perfetto pari era della forma di Euclide. Esiste anche un numero perfetto dispari? La questione è stata sollevata esplicitamente da Cartesio (1596-1650), matematico compagno di scuola di Mersenne. Avete mai fatto caso che i filosofi più simpatici erano anche matematici? Cartesio, ma soprattutto Leibniz. Non sappiamo se esiste un numero perfetto dispari, ma si sa che un numero perfetto dispari deve avere almeno 500 cifre, 10 alla potenza di 500. Dopo più di due millenni di lavoro sui numeri perfetti, la nostra ignoranza è infinita!
Ora parlo del triangolo di Pascal, il cosiddetto triangolo di Pascal. La regola di formazione è molto semplice, per esempio 6 è la somma di 3 +3, 15 è la somma di 5 +10, e così via… 70 è la somma di 35+35. Ma questo triangolo era conosciuto in Cina nel 200 come il triangolo di Yang Hui, in Persia nell’undicesimo secolo come il triangolo di Omar Khayyam, e in India come il triangolo di Pingala (c. 450 AC), una data che mi stupisce. Pascal (1623-1662) ci è ben noto come filosofo e scrittore cristiano, ma era anche grande matematico e fisico. Ma perché parlo di questo triangolo? E’ di grande importanza nell’algebra, ma ora guardiamo solo il disegno che fanno i numeri pari e i numeri dispari: i numeri pari sono in nero, i numeri dispari in arancio, ecco lo stesso disegno su una scala maggiore… Il processo continua all’infinito ed è uno dei primi esempi di un frattale, chiamato il triangolo di Sierpinski (1882-1969), matematico polacco. I frattali interessano i matematici perché sono di una complessità infinita, che però risulta dall’iterazione di un processo semplice, e abbiamo visto per il triangolo di Pascal che la regola di formazione è molto semplice. Ma ci risulta una complessità infinita. 
Adesso parlo dei fondamenti dell’aritmetica. Il fatto che il numero di cui abbiamo parlato prima sia un numero perfetto, il più grande che conosciamo oggi, risulta da un calcolo, ma i teoremi di Euclide e Eulero risultano da ragionamenti: è solo attraverso dei ragionamenti che si può raggiungere un aspetto dell’infinito matematico, non si può fare un calcolo infinito, naturalmente, ma si può dimostrare un teorema con un contenuto infinito. 
Quali metodi sono validi per ragionare sull’infinità dei numeri? Nell’800, due grandi matematici Richard Dedekind (1831-1916) e Giuseppe Peano (1858-1932) hanno avuto il coraggio di affrontare il problema: che cos’è un numero? Perché dico coraggio? Perché era un problema molto difficile e complicato? No, tutto il contrario, devono aver avuto un po’ di paura di quello che avrebbe potuto dire la gente: “Scusi, Herr Doktor Dedekind, lei è professore di alta matematica all’università, come mai si mette a studiare l’aritmetica? I fanciulli imparano in prima elementare cos’è un numero!”. Gli assiomi di Peano si possono esprimere così: 0 è un numero; ogni numero ha un successore; 0 non è il successore di nessun numero; due numeri diversi hanno successori diversi. E finalmente il principio di induzione: se una proprietà è vera per 0, e se è vera per il successore, di ogni numero per cui è vera, allora la proprietà è vera per ogni numero. 
Non do esempi, basta con la matematica tecnica! Ma voglio concludere con poche osservazioni generali. I numeri dovrebbero essere cose chiare e concrete, ma la spiegazione del concetto di numero invoca il concetto vago e astratto di proprietà. Che significa? E’ stato necessario precisare l’assioma di induzione, specificando un linguaggio nel quale si esprimono le proprietà. Aristotele (384-322 AC) disse che l’infinito è sempre potenziale, e mai attuale, e aveva pienamente ragione. Vorrei fare una piccola modifica e dire che l’infinito nel mondo creato è sempre potenziale e mai attuale. Ecco Aristotele. I lavori di Dedekind, Peano e altri matematici e logici erano un tentativo di catturare l’infinito potenziale dei numeri in un sistema infinito attuale. Allo stupore dei matematici il tentativo non è riuscito. Due teoremi di Goedel (1906-1978) sono pertinenti. Risulta dal famoso teorema di completezza che non è possibile precisare la nozione di “ogni proprietà”. Dal famosissimo teorema di incompletezza risulta che non si può dimostrare la coerenza dell’aritmetica di Peano per mezzi elementari: non si può dimostrare che non si può dimostrare nel sistema che 0 è uguale a 1, non si può dimostrare questo per mezzi elementari, un risultato stupefacente. Le stelle, e la discendenza di Abramo, sono creazioni divine, di un’infinità potenziale. L’aritmetica è una creazione umana, e se crediamo di aver catturato l’infinito attuale nel nostro sistema, ci inganniamo. Guarda il cielo e conta le stelle se le puoi contare. Grazie infinite.

Moderatore: Ringraziamo di cuore, veramente, i nostri due amici che hanno aperto in un modo o nell’altro, a tutti noi, un orizzonte che ci riguarda. Voglio solo in pochi secondi accennare a un paio di cose che mi hanno colpito. La prima è che abbiamo visto, sia nel primo che nel secondo intervento, che per parlare di infinito, per cercare di affrontare questa parola, questa ampiezza, siamo stati costretti a parlare di una bellezza, a parlare di qualcosa di affascinante, come se questa bellezza fosse davvero una proprietà profonda della realtà, sia della realtà del cosmo che della realtà dell’intelligenza umana che esplora se stessa nella matematica e che esplora il mondo della matematica. E quando ci imbattiamo in qualcosa di grande, in un segno eccezionale come può essere la bellezza di cui abbiamo vissuto oggi, è più facile riconoscerla in tutte le cose. Se questa bellezza è una proprietà profonda, se questo Infinito con la I maiuscola è una realtà che riguarda tutte le cose, averla vista in certi momenti, in certi aspetti, ci facilita a riconoscerla in tutte le cose, nelle cose ordinarie. L’Infinito, la bellezza, è nella goccia d’acqua come nel fiore, non solo nelle galassie o nei numeri infiniti. C’è una canzone che è cara a tanti di noi, in cui ad un certo punto si dice: “tutta la vita chiede l’eternità”. Potremmo parafrasare dicendo che tutta la realtà parla dell’Infinito, è segno di un Infinito che fa tutte le cose. Grazie ai nostri ospiti.